যদি n একটি বিজোড় পূর্ণ সংখ্যা হয়, তবে কোন্টি সর্বদা জোড় হবে?

আমরা জানি, বিজোড় সংখ্যা হলো সেইসব পূর্ণ সংখ্যা যা ২ দ্বারা বিভাজ্য নয় (যেমন: ১, ৩, ৫, ৭, ...)। আর জোড় সংখ্যা হলো সেইসব পূর্ণ সংখ্যা যা ২ দ্বারা বিভাজ্য (যেমন: ২, ৪, ৬, ৮, ...)।

প্রদত্ত প্রশ্নে বলা হয়েছে \(n\) একটি বিজোড় পূর্ণ সংখ্যা। এখন আমরা প্রতিটি অপশন পরীক্ষা করব:

১. \(n^2\)
যদি \(n\) একটি বিজোড় সংখ্যা হয়, তবে তার বর্গও একটি বিজোড় সংখ্যা হবে।
উদাহরণস্বরূপ, যদি \(n = 1\) হয়, তবে \(n^2 = 1^2 = 1\) (বিজোড়)।
যদি \(n = 3\) হয়, তবে \(n^2 = 3^2 = 9\) (বিজোড়)।
সুতরাং, \(n^2\) সর্বদা বিজোড় হবে।

২. \(2n + 1\)
যদি \(n\) একটি পূর্ণ সংখ্যা হয় (জোড় বা বিজোড় যাই হোক না কেন), \(2n\) সর্বদা একটি জোড় সংখ্যা হবে। কারণ যেকোনো পূর্ণ সংখ্যাকে ২ দিয়ে গুণ করলে সেটি জোড় হয়ে যায়।
এখন, একটি জোড় সংখ্যার সাথে ১ যোগ করলে সেটি বিজোড় হয়ে যায়।
সুতরাং, \(2n + 1\) সর্বদা বিজোড় হবে।

৩. \(n + 1\)
যদি \(n\) একটি বিজোড় সংখ্যা হয়, তবে তার সাথে ১ যোগ করলে সেটি একটি জোড় সংখ্যা হবে।
কারণ, একটি বিজোড় সংখ্যার ঠিক পরের সংখ্যাটি সর্বদা জোড় হয়।
উদাহরণস্বরূপ, যদি \(n = 1\) হয়, তবে \(n + 1 = 1 + 1 = 2\) (জোড়)।
যদি \(n = 3\) হয়, তবে \(n + 1 = 3 + 1 = 4\) (জোড়)।
যদি \(n = 5\) হয়, তবে \(n + 1 = 5 + 1 = 6\) (জোড়)।
সুতরাং, \(n + 1\) সর্বদা জোড় হবে।

৪. \(n - 2\)
যদি \(n\) একটি বিজোড় সংখ্যা হয়, তবে তার থেকে ২ বিয়োগ করলে সেটি বিজোড়ই থাকবে। কারণ, বিজোড় সংখ্যা থেকে জোড় সংখ্যা বিয়োগ করলে ফলাফল বিজোড় হয়।
উদাহরণস্বরূপ, যদি \(n = 3\) হয়, তবে \(n - 2 = 3 - 2 = 1\) (বিজোড়)।
যদি \(n = 5\) হয়, তবে \(n - 2 = 5 - 2 = 3\) (বিজোড়)।
সুতরাং, \(n - 2\) সর্বদা বিজোড় হবে।

উপরে উল্লিখিত বিশ্লেষণ থেকে দেখা যায়, \(n\) বিজোড় সংখ্যা হলে শুধুমাত্র \(n + 1\) সর্বদা জোড় হবে।